Fregest, saateks „Aritmeetika alustele”

JAAN KANGILASKI

Uue loogika loomise eesmärk Frege jaoks oli anda kindel alus aritmeetikale.   Gottlob Frege (1848–1925) oli saksa matemaatik ja loogik, keda peetakse üsna üksmeelselt nn analüütilise filosoofia rajajaks. Mille poolest on ta aga oluline tänapäeval? Püüan siin väga lühidalt markeerida Frege olulisemaid vaateid ja nende ajaloolist tagapõhja.

Oma eluajal oli Frege võrdlemisi vähe tuntud ning tema ideed olid tuttavad eelkõige kitsale matemaatikute ringile. Tema tööde kehv vastuvõtt (õieti peaaegu selle puudumine), eriti matemaatikute seas, tegi ta üsna kibestunuks ja sarkastiliseks. Filosoofilisse traditsiooni on Frege vaated läinud eelkõige tänu Bertrand Russellile ja Ludwig Wittgen-steinile, kes on tema töödele viidanud, neid kritiseerinud ja edasi arendanud. Ka fenomenoloogia rajaja Edmund Husserl oli Frege töödega tuttav ning asus suuresti tema mõjul kritiseerima psühhologismi loogikas. Kõik kolm mainitud filosoofi olid Fregega ka kirjavahetuses. Juba oma doktori- ja habilitatsioonitöös oli Frege huvitatud küsimusist, mis hiljem ta filosoofiale suuna andsid: esiteks, kuidas ühe uurimisvaldkonna tulemusi on võimalik üle kanda mujale; teiseks, aluste otsimine. Sellega seoses tõstis ta kesksele kohale funktsiooni mõiste, millest sai hiljem alus uuele loogikale, siis aga pidi tegema võimalikuks aritmeetika eri osade vahelise seose.

Frege on kirjutanud kolm pikemat raamatut ja hulga artikleid, võrdlemisi oluline osa kirjutistest jäi aga ta eluajal avaldamata ning ilmus alles 1969. aastal. 1879. aastal ilmus Frege esikteos „Mõistekiri: aritmeetika eeskujul väljatöötatud valemikeel puhta mõtlemise jaoks”. „Mõistekirjaga” algas uus ajastu loogikas – vana, Aristotelese loogika asendati uuega. Teoses sisalduvat võib kõhklemata nimetada revolutsiooniks loogikas. Seal esitas Frege esimese formaliseeritud loogilise süsteemi, millest on lähtunud kogu hilisem matemaatilise loogika areng. Tegemist on lausearvutuse esmakordse täieliku ja rangelt aksiomatiseeritud esitusega, kus toetutakse kahele loogilisele tehtele, kahele tuletusreeglile ja kuuele aksioomile. Tõeline läbimurre võrreldes vana loogikaga seisnes aga predikaatarvutuse loomises.

Uue loogika loomise eesmärk Frege jaoks oli anda kindel alus aritmeetikale. See tähendas esimest sammu nn logitsistlikus projektis, nimelt tuli loogika ajakohastada seetõttu, et aritmeetikat saaks hiljem sellest tuletada. XIX sajandil oli loogikute ja matemaatikute seas üldse väga levinud matemaatika üksikute osade üksteisele taandamise ja loogika süstematiseerimise idee. Põhilisteks selles suunas tegutsejateks loogikas enne Freget olid George Boole ja Augustus De Morgan. Matemaatikas oli aluste otsimine varem toimunud põhiliselt kahes suunas: 1) geomeetria taandati analüütilisele geomeetriale, see omakorda aritmeetikale; 2) matemaatiline analüüs taandati reaalarvude teooriale, see ratsionaalarvude koonduvate jadade teooriale, viimane omakorda naturaalarvude teooriale. Viimane etapp – naturaalarvude aritmeetika – oli aga Frege ajal oma aluste osas täiesti ebaselge. Mitte keegi ei osanud täpselt ütelda, mis on naturaalarv, või mille kohta käivad aritmeetikaväited.¹

Seda puudust asus Frege likvideerima oma järgmises, filosoofilisimas teoses „Aritmeetika alused” (1884), mis äsja ka eesti keeles ilmus. Seal tegeles ta mitteformaalse, puhtfilosoofilise arutlusega kõige fundamentaalsema matemaatikaharu, aritmeetika, ja selle põhimõistete üle. Seda tehes avastas ta, et aritmeetikale pole vaja omistada mingeid eriomaseid taandumatuid mõisteid või spetsiaalseid aksioome – kõiki aritmeetikamõisteid saab defineerida üldiste loogikamõistete kaudu, ning kõiki aritmeetikareegleid saab tuletada loogika üldprintsiipidest. See ongi kuulus logitsistlik tees, mille hiljem (veidi nõrgemas vormis) võttis üle Russell.²

Logitsistlik programm tähendas Fregele näitamist, et aritmeetika on analüütiline a priori, seega Kanti seisukoha kummutamist, kelle järgi on aritmeetikatõed sünteetilised a priori. Oma programmi elluviimiseks tuli tal teha kaht asja: 1) defineerida aritmeetikamõisted loogikamõistete abil; 2) tõestada, et aritmeetikatõed on tuletatavad loogika aksioomidest ja aritmeetika põhimõistete definitsioonidest loogilise deduktsiooni abil. Programmi lõpuleviimiseks kirjutas Frege oma peatöö, kaheosalise „Aritmeetika põhiseadused” („Grundgesetze der Arithmetik”, 1893–1903).

Frege (nagu ka hiljem Russell) ei suutnud matemaatika taandamist loogikale rangelt siiski läbi viia, nad pigem ühendasid omavahel kaks matemaatika haru – aritmeetika ja hulgateooria. Ent Fregel ei olnudki kunagi plaanis taandada loogikale kogu matemaatikat, kuivõrd geomeetria oli tema arvates sünteetiline a priori ja seega loogikale taandumatu, küll aga oli üleminek naturaalarvude teoorialt reaalarvudele Frege arvates puhtloogiline probleem.³

„Aritmeetika põhiseadustes” esitatud aksioomide süsteemis leidis Russell 1902. aastal vastuolu, mis on hiljem saanud tuntuks Russelli paradoksina. (Paradoksini viisid kaks Frege keskset teesi: 1. mõistemahud on objektid ja 2. mõisted on kindlapiirilised, iga mõiste peab olema defineeritud iga objekti jaoks. Need teesid on omavahel vastuolus. Mõiste „olla sellise mõiste maht, mille alla ta ise ei kuulu” maht korraga nii kuulub kui ei kuulu antud mõiste alla.) See viis Frege pikemaks ajaks loomingulisse kriisi, kuna see tähendas sisuliselt ta projekti kokkuvarisemist. Oli selge, et aritmeetika loogikale taandamine ei lähe nii lihtsalt läbi, kuna abiks võetud klassi mõiste osutus vastuoluliseks.⁴ Viimaseil eluaastail hakkas Frege otsima aritmeetikale alust geomeetriast, s.t kaemusest, naastes sellega taas Kanti vaate juurde, et aritmeetika on sünteetiline a priori. Ta jõudis aga sel teemal kirjutada vaid mõned poolelijäänud fragmendid.⁵

Veidi enne „Aritmeetika põhiseadusi” avaldas Frege lühikese aja jooksul kolm artiklit,⁶ milles formuleeris oma tähendusteooria. Neid artikleid on käsitletud kui töid, mis kuuluvad täiesti uude valdkonda, keelefilosoofiasse (nt Michael Dummett), aga samuti on selge, et nende problemaatika kerkis esile Frege logitsistliku projekti raames ning ka need artiklid teenisid selle projekti huve. Neis artikleis tegi Frege parandusi ja täiendusi oma seniseis vaateis, mis olid väga olulised ta logitsistlikule projektile: 1) Ta lihtsustas oma ontoloogiat: kõik olemasolev on kas funktsioon või objekt. Sellega tõi ta objektide hulka lisaks arvudele ka nt tõeväärtused ja mõistemahud. Need said keskse koha ta tõestustes (ning ka ta projekti kirstunaelaks); 2) Varasema mõistelise sisu mõiste lahutas ta nüüd kaheks, tähenduseks ja osutuseks.

Eriti artiklis „Tähendusest ja osutusest” formuleeris Frege oma tähendusteooria, millest kasvas välja kogu analüütilise keelefilosoofia traditsioon, mis siiani tegutseb suuresti Frege seatud raamistikus. Oluliselt on Frege mõjutanud analüütilise filosoofia järgmisi suurkujusid Russelli ja Wittgensteini. Paralleele Frege tähendusteooriaga võib näha ent ka Husserli varastes töödes.

Kas Frege oli pigem matemaatik või filosoof? See, et Frege oli matemaatik ja loogik, sealjuures üks põhilisi moodsa loogika rajajaid, ei tekita erilisi vaidlusi. Küll aga see, kas ja mis mõttes võib teda filosoofiks nimetada. Üsna üksmeelsed ollakse selles, et Frege ideed on tohutult mõjutanud XX sajandi filosoofiat, sealjuures mitte ainult analüütilist, vaid ka fenomenoloogilist traditsiooni. Mitmelt poolt ta kirjutistest võime leida rahulolematust ja pettumust selle üle, et tema töid on peetud matemaatikaks ja seetõttu ei ole filosoofid neile tähelepanu pööranud. Kuigi Frege end ise filosoofiks ei pea, peab ta oma mõistekirja filosoofia jaoks oluliseks abivahendiks. Sedavõrd, kui filosoofia vajab oma teeside formuleerimiseks igal juhul mingit keelt, on kas või Frege saavutus loogilise, ühetähendusliku sümbolkeele loomises filosoofiliselt väga oluline – sellest kasvas välja nn ideaalkeele traditsioon, XX sajandi esimese poole analüütilise filosoofia üks kahest peavoolust.

1 Vt nt: Michael Beaney, „Introduction”. Teoses: The Frege Reader. Toim. M. Beaney. Oxford: Blackwell, 1997, lk 1-46.

2 Vt Dummett, „Frege’s Philosophy”, op. cit., lk 90.

3 Vt Dummett, „Frege’s Philosophy”, ibid.; Dummett, Frege: Philosophy of Language, op. cit., lk XXXVI.

4 Viimaseil aastakümneil on hakatud paljuski Fregele toetudes arendama siiski nn uuslogitsismi, vt selle kohta Madis Kõivu järelsõna teoses „Aritmeetika alused”, op. cit., lk 314-328.

5 Osa neist on tõlgituna ilmunud eestikeelsete „Aritmeetika aluste” lisana, op. cit., lk 137-156.

6 „Funktion und Begriff” [1891], teoses: G. Frege, Funktion – Begriff – Bedeutung. Toim M. Textor. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 2002, lk 1-22; „Mõistest ja objektist” [1892], Akadeemia, 1998, nr 11, lk 2335-2348; „Tähendusest ja osutusest” [1892], teoses: Tähendus, tõde, meetod. Tartu: TÜ Kirjastus, 1999, lk 22-43.