Kuidas kirjeldada pöördparaboloidi?

Fundamentaalalad matemaatika ja füüsika on Toompeal kutsumata külalised.

PEETER OLESK

Pöördparaboloid on pind (siinkohal pole tähtis, et teist järku), mis tekib parabooli pöörlemisel ümber oma telje. Paraboolil on mitu tähendust, millest geomeetriasse puutub see, et ta on joon, mille kõik punktid asuvad kindlal kaugusel fookusest ja juhtsirgest. Kui nimetada vastavaid punkte koos või kokku hulgaks, siis võib parabooli ka geomeetrias määratleda hulgateoreetiliselt, ehkki, ma usun, tahab enamik lugejaist näha parabooli joonisel ja mitte analüütilisel kujul. Lihtsaim viis veenduda parabooli reaalsuses on siiski vaadata teda oma silmaga. See ei maksa palju: iga vokkpanni kaas on paraboloid, parabooli „kulinaarne“ vaste. Tõstad ta pannil aurava katalaanide toidu paella peale ega aimagi, et hoiad käes tükikest analüütilist geomeetriat.

Järgnev ikkagi ei ole aruanne Eesti maaülikooli rektori Mait Klaasseni antud ülesande täitmisest geomeetria vallas. Niisugust ülesannet rektor oma nõuniku ette püstitanud ei ole. Küll aga õpetatakse maaülikooliski üldaineid, millest osa jätkatakse kõrvalainetena peaaine suhtes. Kuidas see meil ja mujal käib ning millised probleemid seejuures tekivad, on mind huvitanud ammu, aga ülikoolides on sel oma kaldenurk. Ühel hetkel tuleb tudengil otsustada, kui suurt siilu ta teadmuse otsatul põllul jõuab majandada. Kui ta on üldainetes nõrk, siis on ta seda ka eriainetes. Kui ta on üldainetes liiga laiali, on tal raske keskenduda. Missugune ta just on, seda saab diagnoosida, ent mitte iga aine kaudu. Kirjanduslugu selleks ei sobi, sest see pole üldaine. Üldajalugu samal põhjusel kahjuks samuti mitte, kuigi eestlaste ja eestimaalaste teadmised üldajaloos on allpool arvestust. Mitte ainult neid asjaolusid arvesse võttes valisin ma kodumaise inimese vaimsete pöördepunktide käsitlemiseks füüsika ja matemaatika, mis mõlemad kuuluvad üldharidusse ja sealt kõrgemal tasemel pea-, üld- ja kõrvalainete hulka. Oleksin võtnud ka keemia ja materjaliteaduse, aga ultra posse nemo obligatur.

Olemise matemaatika

Lähenemine äsja viidatud küsimusteringile algas siiski mujalt kui ladina keel Betti Alveri tõlgenduses. Konkreetselt huvitasid mind kaks aspekti. Esiteks see, kui palju tunneb füüsikat ja matemaatikat (nende asemel võib vabalt olla ka põlevkivikeemia või loomaarstiteadus) Eesti Vabariigi riigikogu liige? Tartu ülikooli endine geomeetriaprofessor, rahvusvahelise kogemusega diferentsiaalgeomeeter Maido Rahula arvas elutargalt, et rahvaasemike teadmiste kontroll ses suhtes on mahavisatud vaev ning tal oli õigus. Need kaks fundamentaalala on Toompeal kutsumata külalised. Kuid – kui riigikogu liige ei tunne põhilisi teadusi, mismoodi saab ta siis otsustada Eesti teaduse tuleviku üle? Majanduspoliitilises mõttes saab teadus Eesti Vabariigis oma sihi insenertehnilisena või ka tehnoloogilisena ja siin ei ole ainumäärav, kui andekas on reaalainete olümpiaadivõitja, vaid on oluline, kui palju on keskealisel lukksepal loomingulisi ülesandeid ja kas neid jagab kogenud insener või pisike äriline röövkala. Väike ahven tursa kõrval. Kui sellealane kogemus riigikogu uues koosseisus on väike, siis me saame hulga intellektuaalses maailmas võhikuid võib-olla isegi väga paljudeks aastateks.

Teiseks pälvisid tähelepanu maakondade põhikoolide need õpetajad, kes on pannud internetti üles kas oma või oma kasvandike didaktilised lahendused mõistete omandamiseks ja ülesannete lahendamiseks. Vanasti nimetati neid referaatideks ja õpilastöödeks või kuidagi teist-kolmat moodi, aga igal juhul on need loomingulised, sest tervenisti neid üksteise pealt maha kirjutada ei saa. Piirkonnaks, mille sees niisugust loomingulisust jälgida, valisin ma maakonnaülese areaali ehk Kesk-Eesti: Rapla, Järva, Pära-Viljandi, Lääne-Viru ja Edela-Harju. Ainsaski sealses asulas ei ole korralikku raamatupoodi, millest võib järeldada, et uusim erialane kirjandus füüsikas ning matemaatikas originaalis asub nende kandis väljaspool internetti mitme maa ja mere taga. Kuna ma ei ole ses piirkonnas ühegi reaalainete õpetaja kodus ega ainekabinetis käinud, ei ole mul ka õigust imestada, mis neis võiks leiduda ning mis sealt puudub. Iga üld- või ka kutseharidusõpetaja elamises ei pea olema IB (rahvusvaheline bakalaureuse-stuudium) standardile kohast ingliskeelset matemaatika- või füüsikaõpikut, sest need on kallid, kuid, ma olen kindel, et iga õpetaja on sisimas uhke, kui keegi tema kasvandikest tõuseb kõrgemale kui BA. See on täiesti võimalik, kui kasvandik oskab lahendada mittestandardseid ülesandeid, s.t niisuguseid, millel puudub lollikindel vastus. Kust sääraste ülesannete kogusid otsida?

Riigikogu liige akadeemik Jaak Aaviksoo leidis sellise siinkirjutaja raamatukogust. Muud lehitses ta põgusalt, aga seda oleks ta lugema jäänudki. Raamat kannab inglise keeles pealkirja „Mathematical Understanding of Nature. Essays on Amazing Physical Phenomena and Their Understanding by Mathemathicans“, mille ma tõlgiksin kui „Olemise matemaatika. Mõtisklusi füüsikaliselt huvitavatest juhtumitest ja nende matemaatiline tõlgendus“. Avaldanud on selle 2014. aastal Ameerika Matemaatikaselts (AMS), aluseks venekeelse originaali teine trükk aastast 2011 (esmatrükk 2009). Autoriks on mainekas matemaatik, geomeeter ja matemaatiline füüsik Vladimir Arnold (1937–2010), kes oli üks akadeemik Andrei Kolmogorovi õpilasi. Kolmogorov oli äärmiselt populaarne matemaatilise didaktika entsüklopedist, kes ise pooldas ennekõike hulgateooriat. Kõik need praegu juba gerontidest eestimaalased, kes õppisid matemaatikat 1960. – 1970. aastatel, omandasid selle alused pärast elavaid arve selles arvutuslikus segasummasuvilas, mille keskel genereeris ideid Kolmogorov. Meievanused juntsud ei teadnud Kolmogorovist rohkem, kui võis lugeda Noorte Häälest ja Horisondist, aga meie vanemad hakkasid lastevanemate koosolekutel küll õiendama, kui seal kuulutati, et abstraktne ehk suvaline hulk on täpsem kui konkreetne arv. Tulemus oli nukravõitu: matemaatilise ranguse asemel valitses meiesuguste hariduses ebakorrektne soust.

Vladimir Arnold, matemaatika õpetamises muide väga viljakas kaasarääkija, ei läinud sama teed nagu Andrei Kolmogorov. Ta ei olnud ka nii järjekindel integraalarvutuse pooldaja nagu Lev Landau. Pigemini eelistas ta muidu äärmiselt doktriinliku Lev Pontrjagini lähenemist, mis lubas olla intuitiivne. Matemaatikas on asju, mis võiksid olla iseenesestmõistetavad. Kui ringjoone pikkuse ja läbimõõdu suhe on lõpuni arvutamatu, siis on lootusetu otsida arvu π piirväärtust kui lõplikku suurust, kuna see on nihutatav. Siit Vladimir Arnoldi ilmne ettevaatlikkus matemaatilise absolutismi suhtes: „Kõik ei ole nõnda, nagu näib.“ (August Sang) Sedasama armastas korrata Tartu ülikooli patoloogilise anatoomia nimekas professor Albert Valdes.

Säärasest suhtumisest sündis ilus rida etüüde matemaatilise füüsika sisust ja õpetamisest. Enamik nendest on oma esmatrükis interneti kaudu leitav igaühele, kes oskab vene keelt paremini kui Vladimir Putin saksa keelt. Kuid mõnikord on Vladimir Arnoldit peetud pigem katastroofiteoreetikuks kui matemaatiliseks füüsikuks. Arenguliselt on see eksitus. Katastroofiuurimine on vana valdkond, millele tõmbas matemaatilise piiri ümber prantslane René Thom (1923–2002) 1960. aastatel. Tema järel tuli inglise matemaatik Sir Erik Christopher Zeeman (1925). Külamehe tasemel tunneb seda valdkonda iga liikluspolitsei menetleja, kelle ülesandeks jääb mõistatada, mismoodi auto esiklaas on killunenud niiviisi, et sellesama autoga enam sõita ei tohi. Vladimir Arnoldit näikse huvitanuvat katastroof kui katkestus protsessis, mis peaks olema pidev ehk katkestamatu. Näiteks lahtise piruka küpsetamisel tema paisumine ehk kerkimine ülespoole ei ole pidev tähenduses „ulatumine lõpmatusse“, vaid pöördub vajumiseks alates teatavast kõrgusest. Hetkel, mil piruka kerkimine pöördub, ongi katastroof toimunud.

Novellid matemaatilise füüsika piiril

Ameeriklased on tõlkinud inglise keelde 39 Vladimir Arnoldi matemaatilise füüsika piiril mõistetavat väikest novelli, millest igaüks sisaldab ühe riukaliku ülesande, millele järgneb Arnoldi-poolne lahendus. See on lakooniline ja nõuab põhjalikku kodust tööd – nagu ka ülesandest arusaamine ise. Pole oluline, kas ülesanne pärineb tingimata just füüsikast, ent on tähtis, et ülesande lahendaja mõistaks (1) lugeda illustratsiooni, (2) ei pelgaks algebrat ega geomeetriat (ega samastaks viimast joonisega geomeetrilise kujundi kohta) ja (3) ei tunneks hirmu mitmesuguste sõltuvuste sümbolistliku üleskirjutuse ees. Näiteks Arnoldi ülesanne nr 12 (lk 33–35) on pühendatud tormile veeklaasis, kuid on sõnastatud poliitiliselt enam kui korrektselt: millise geomeetrilise kuju võtab vee tasapind klaasis, kus ta on pandud keerlema?

Vastus: nii tekibki pöördparaboloid, mida kirjeldavad mõned võrrandid ja illustreerivad paar joonist. Ühenduses pöördparaboloidi kujuga käsitleb Vladimir Arnold samas ka puutujat – mõistet, millel on läinud halvasti nii kooli- kui ka bakalaureuse-matemaatikas, kus aetakse sassi puutepunkt ja puutujatasand.

Puutepunkt on näiteks raudteeasjanduses see koht, kus rööbas ja veduriratas saavad kokku. Balti jaamas võib seda vaadata igaüks, kes uurib seal seisvat auruvedurit. Tõsi, ma ei ole kunagi märganud, et selle veduri juures õpetataks matemaatikat või kitsamalt analüütilist geomeetriat. Keskeestlased võivad samasugust pilti minna vaatama kas Türile või Tapale.

Vladimir Arnold ei ole oma ülesandekogus nii üksikasjaliselt metoodiline nagu eestikeelses füüsikaharjutustikus professor Rein-Karl Loide (1942) või dotsent Henn Voolaid (1943). Rein-Karl Loide on avaldanud mitu kogu nn näidisülesandeid, milles näide algab ülesande analüüsiga, jõuab seejärel lahenduseni ja päädib lahenduskäigu morfoloogiaga ehk vastustega küsimustele miks?, milleks? ja kuidas?. Kuna koolitunnis ei jätku kunagi aega võtta ükskõik milline küsimus loetletust läbi professorliku sügavusega, siis sobib Rein-Karl Loide lähenemisviis väga hästi eneses kahtlevatele iseõppijatele. Henn Voolaid on olnud kärsitum, tema kogud on ehitatud üles aktiivsele tagasisidele ehk õpilase tööle iseendaga. Arnoldlikule käsitlusele on ta lähimal oma seni viimases raamatus „Kas sina tead? Huvitav füüsika meie ümber“ (Atlex, Tartu, 2014). See sisaldab umbes poolsada ülesannet, millele on lisatud vastused, täiendavad küsimused ja nimekiri raamatutest, mida peaks lugema kõrvale. Lahtiseks jääb, kust peaks maakooli edasipüüdlik õpilane need raamatud kätte saama ja kas need ongi talle kõige sobivamad, kui näiteks elementaarosakeste füüsika kohta on avaldatud hulganisti paljukeelset üldharivat kirjandust, mille ühisosa ei ole lihtne leida.

Eelnevaga ei ole soovitatud tõlkida Vladimir Arnoldi ülesandekogu ka eesti keelde, lisades tema novellettidele ka tema märkmed matemaatilisest füüsikast. Matemaatika ja füüsika aluste harjutamiseks on odavamaidki lahendusi, näiteks ühes Järvamaa koolis koostatud ristsõnamõistatus füüsika põhimõistete kohta. Viga on mujal. Eestikeelse loodusteadusliku erialakirjanduse arvustamine ei kõlba mitte kuskile ja nii võibki juhtuda, et laps, üliõpilane või koguni teadur pannakse aine sisu lugema pedagoogi noorpõlve- või, mis veel hullem, ajaviitelektüüri järgi. Laps, kes ei tea, kui libe on tursaline nimega luts (Lota vulgaris Cuv., samuti Lota lota L.), ei või ka teada, kui suurt hõõrdejõudu on vaja, et see röövkala kätega kuivale sikutada. Ilmselt just viimasel põhjusel sõnastas omaaegne koolinõunik dotsent Juhan Lang koos dotsent Anatoli Mitiga nende raamatus „Küsimusi ja ülesandeid füüsikast I. VIII ja IX klassile“ (Tallinn, 1948) 588. ülesande järgmiselt: „Mispärast eluskala (lutsu) on raske käes hoida?“ (lk 60).

Mis võiks Vladimir Arnoldi pärandist kuuluda riigitegelaste üldharidusse? Mõni niisugune ülesanne, mis kas ei nõua üldse mingeid täiendavaid teadmisi või eeldab kõigest paari suhtarvu jms tundmist. Selline on tal näiteks ülesanne nr 3: kui palju on sinusoid pikem sirglõigust, millele ta on joonistatud (lk 5)? Ülesanne nr 37 on juba nõudlikum, kuid Eesti Vabariigi jaoks äärmiselt praktiline: kuidas on suhestatud jõe pikkus ja tema valgala (lk 153–154)? Vastamiseks tuleb teada ameerika maateadlase John T. Hacki (1913–1991) seadust, ent ma kahtlen väga, kas enamik nendest meie hulgas, kes on Eesti Vabariigi ja Venemaa Föderatsiooni vahelise piiri kohta Vasknarva ja Narva lahe vahel sõna võtnud, on Hacki seadusest ja sellest tulenevast eksponendist üldse kuulnudki.

Oma novellid on Arnold ehitanud üles nõnda, et alguses esitab ta üldistatud kujul mingi reaalelulise probleemi. Enamasti illustreerib seda üks või paar vabakäelist joonist. Järgneb küsimus, mille vastus koosneb kolmest osast – arutluskäigust koos metoodiliste ääremärkustega ja algebralisest ning geomeetrilisest kirjeldusest. Kuidas algebra ei ole midagi õudustäratavat, seda võib maakeeli lugeda ajakirja Looming eelmise aasta viimasest numbrist. Dr Piret Kuusk on seal (lk 1752–1758) avaldanud ilusa artikli „Madis Kõiv ja füüsika“, milles ta tsiteerib pikalt Madis Kõivu mälestusi aastast 1982. Nendes tunnistab Madis Kõiv üles, kuidas ta algul algebrat lausa kartis, kuni tegi asja endale salaja siiski selgeks. Ehkki Vladimir Arnold ei õpeta algebrat ennast, õpetab ta sellega harjumist. Matemaatika tervikuna ei ole tema jaoks sugugi ülikategooriline, vaid vastupidi – ta peab olema paindlik. Mõni asi tuleb lihtsalt meelde jätta, palju peab mujalt järele vaatama ja arutluskäik ei tohi olla lõtv. Kuna kõnealune raamat ei sisalda biograafilist ega mõistelist registrit, siis on lugejale möödapääsmatu uurida teisalt, mida tegi matemaatikas prof Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) ja mis on Dirichlet’ integraal (vrd Arnoldi ülesanne nr 4) juhul, kui see võrdub π jagatuna 2-ga. See on täiesti võimalik, kui te muu seas tunnete vastavaid peatükke professor Gunnar Kangro matemaatilise analüüsi kursusest ja oskate inglise ja vene keelt.

Poliitik ja insener

Milleks see kõik? Pikk rida Eesti Vabariigi ees seisvaid või juba pooleliolevaid rahvamajanduslikke ettevõtmisi eeldavad peale tugeva insenerihariduse ka korralikku poliitilist haridust. Paraku ei ole nii, et poliitik raiskab raha ja insener hoiab seda kokku. Kui insener ei näita ära, kus poliitik või isegi poliitiline kogu eksib, pannakse ka tema raiskama, sest ta on kaotanud oma sõltumatuse. See ei tähenda, et insener peab muutuma erakondlaseks. Ta peab hoiatama, kui asi pöörab arutuks. Jah, on teada, et Euroopa ühisfondide raha jagamise mehhanism on absurdselt paindumatu. Siinkirjutaja avastas ühe laborihoone ehitusel ohutustehnilise vea, mille oleks pidanud välistama kui mitte projekteerija, siis tehniline järelevalve. Vea ohtlikkusest said aru kõik, kellega koos ma sel objektil parajasti viibisin. Kummatigi oli neil „kaalukas“ vastuargument: kui me parandame selle vea ise, süüdistatakse meid ehitusraha omavolilises kuritarvitamises, aga kui me hakkame seda parandust kooskõlastama, võtab see nii kaua aega, et me ületame ehitise valmimiseks määratud tähtaja ja oleme sunnitud maksma trahvi. Insener, kes on lontkõrv, ei ole insener, vaid ongi lontkõrv. Tallinna–Tartu–Luhamaa maantee uuel kujul ei ole jõudnud veel Tartunigi, kui seda peab hakkama Vaidas parandama! Sellest saan ma aru, kui ka suure kogemusega vedurijuht ei saa Partsi porgandit Balti jaamas pidama, sest puupüsti täis rong pidurdub pooltühjast erinevalt, kuid kui Rail Balticu olulised sõlmkohad on lahendamata, siis ei ole minu arvates Eestile jõukohane alustada enne neid raudteed trassil Balti jaam – Rohuküla sõlmjaamaga Keilas. Poliitik võib lubada, et küll me raha leiame, ent trassi ega taristut ta ei projekteeri.

Eriti kui ta ei ole peale kõige muu lugenud Vladimir Arnoldi novelletikogu. Me ei tohiks valida riigikokku nõrgabaasilisi. Säärased võivad kergesti muutuda ka nõrganärviliseks.