Fieldsi medalid on kaasaegse matemaatika medalid

JUHAN ARU

Iga nelja aasta tagant jagatakse ülemaailmsel kongressil matemaatikute kõige mainekamad auhinnad. Matemaatikutele Nobeli auhinda ei anta ja iga matemaatik saab selle tagamaad teada juba ülikooli esmakursusel. Nimelt pajatab vähemalt üks professor ikka matemaatilise materjali vahele ka loo sellest, kuidas Alfred Nobel saanud pahaseks, kuna tema pruudil või naisel olnud matemaatikuga afäär. Üldteada lugu, kuigi vist siiski vaid matemaatikute muinaslugu. Nimelt ei abiellunud Alfred Nobel ju mitte kunagi ... ja ega tõtt-öelda ei tea ma ka ühtegi matemaatikut, kes kiiruga teiselt pruuti üle lööma kipuks. Tõsiasi on vististi see, et Nobelile ei tundunud lihtsalt matemaatika teab mis noobel distsipliin, või vastupidi, tundus liiga noobel ja nõnda liiga elukauge. On huvitav spekuleerida, mida ta nüüd mõtleks …

Siiski saavad ka matemaatikud auhindu ja neid tuleb päris kiiresti juurde. Kõige uuem on vist see läbimurdeauhind, millele panid aluse Facebooki asutaja Mark Zuckerberg ja vene rikkur Juri Milner. Nad andsid igale viiest valitud matemaatikust kolm miljonit dollarit. Meenutan, et Nobeli auhind kannab vaid 1,3 miljonit dollarit auhinnaraha, seega pole paha. Muuseas, kuluaaridest on kosta, et auhinnatud matemaatikud vaidlesid tegelikult veidi vastu, öeldes, et seda raha saaks ju ka teisiti, s.t paremini, matemaatika hüvanguks ära kasutada. Aga auhinna jagajad jäid endale kindlaks, et nad tahavad luua mõned suured ja tänapäevale kohaselt kuulsad eeskujud. Igal juhul on juba teada, et viis valitut annetavad kamba peale pool miljonit arengumaade noorte matemaatikute harimiseks. Nende töö on ka valida üks uus auhinnasaaja.

Fieldsi medalid alla 40aastastele
Kõige kuulsamad matemaatikute auhinnad valib aga siiski rohkematest matemaatikutest koosnev žürii, mida vähemalt mõnda aega hoitakse salajas. Need auhinnad on Fieldsi medalid, millega kaasneb palju tunnustust ja mitte väga palju raha. Neid jagatakse iga nelja aasta tagant ülemaailmsel matemaatikute kongressil. Medali nimetus pärineb John Charles Fieldsilt. Ta oli Kanada matemaatik ja veendunud, et matemaatikutel peab olema oma medal. Ta kogus raha ja toetajaid ning nii see medal alguse sai, kahjuks küll alles pärast Fieldsi surma.
Esimesed Fieldsi medalid anti välja 1936. aasta kongressil Oslos. Ühe neist sai Soome päritolu Lars Ahlfors, kes, tõsi küll, rääkis rootsi keelt ja töötas suure osa elust Ameerikas. Ilus ei olnud mitte ainult tema uurimistöö, vaid ka pedagoogiline töö – tema õpikud on endiselt moes, pean neid seni parimaks sissejuhatuseks kompleksanalüüsi valdkonda. Ahlforsi iseloomustab väga geomeetriline mõtteviis.
Äsja lõppes järjekordne kongress, seekord Sŏulis, kus avatseremoonial jagati ka auhindu. Tegelikult ei ole Fieldsi medal ainus auhind, mida kongressil jagatakse: on veel Nevanlinna medal arvutiteadusega seotud matemaatikule; Gaussi medal matemaatikule, kelle töö on oluliselt mõjutanud muud maailma; Cherni medal silmapaistva töö eest ning Leelavati auhind matemaatika populariseerimise eest.
Kõige ihaldatumad on aga kindlasti Fieldsi medalid. Nendega (ja muuseas ka Nevanlinna medaliga) kaasneb ka omapärane piirang: medalisaaja neljakümnes sünnipäev ei tohi olla enne kongressiaasta esimest jaanuari. Kuigi pole päris selge, kust täpselt 40 aasta piir läheb, oli see auhinna looja John Charles Fieldsi tahe, et medalid läheksid noorematele. Need medalid ei peaks ainult tasustama ja tunnustama tehtud tööd, vaid vaatama ka tulevikku – innustama rohkema järele. Kas see nõnda ka on ja kas tegelikult nõnda hoopis noori matemaatikuid meelistegevuselt eemale ei kallutata, pole päris selge. Fieldsi medal toob võitjale palju tähelepanu, kuulsust, kohustusi ja võimalusi matemaatikale ka teisiti – populariseerimise ja organiseerimise kaudu – kasu tuua. Ühiskonnas saab Fieldsi medali saajast tihti matemaatika eestkõneleja, keda usaldatakse ja kuulatakse. Nii teevadki päris mitmed kunagised Fieldsi võitjad tänuväärt tööd matemaatika rahastamise ja tunnustamise nimel.
Muidugi on suur mõju ka matemaatikasiseselt – Fieldsi medal on kaasaegse matemaatika medal. Medalisaajate töö on küll alati üsna originaalne ja omanäoline, kuid iseloomustab siiski ka valdkondi, töösuundi ja -viise, mis on tänapäeva matemaatikas viljakad ja – kui võib nii öelda – on moes. Fieldsi medal mõjutab ka matemaatika arengut, suunates noori matemaatikuid oma ala valikul ning juhtides uurimisrahastust, see lisab teatud küsimustele ja probleemidele sära.
Kes said siis selle aasta Fieldsi medalid? Brasiillane-prantslane Artur Ávila, indialane-kanadalane-ameeriklane Manjul Bhargava, austerlane Martin Hairer ning iraanlane Maryam Mirzakhani. Muuseas, Maryam on esimene naissoost Fieldsi medalist.

Öelda kas või midagigi ilma võrrandeid teadmata
Ja mis nad on teinud? Tõtt-öelda ega ma seda väga hästi selgitada oskagi. Matemaatika on nii spetsialiseerunud, et kõigel ei suuda järge pidada. Üks on selge: kõik medalistid on teinud ühtmoodi keerulist, ilusat, ja tundub, et oma ala spetsialistidegi jaoks üsna üllatavat matemaatikat. Õnneks annavad kongressil sama valdkonna tuntud esindajad medalistide tööst kokkuvõtte ja nii võin mina pakkuda lühikokkuvõtte nende kokkuvõtetest. Kõik valed, mis võivad kogemata sisse lipsata, võtan muidugi enda süüks ja loodan, et need on valged valed.
Artur Ávilat tutvustas väga karismaatiline prantsuse matemaatik Étienne Ghys. Mulle meeldis väga, kuidas ta tegi lõbusa kokkuvõtte dünaamiliste süsteemide uurimisest matemaatikas. Dünaamilised süsteemid ongi Artur Ávila valdkond. Étienne Ghys märkis, et dünaamiliste süsteemide uurimises on olnud kolm ajastut. Esimene ajastu oli Newtoni ajastu: füüsikalt saadi diferentsiaalvõrrandite süsteem, mis kirjeldab maailma, ning matemaatiku ülesandeks oli leida võrranditele lahendid ehk näidata arvuliselt, kuidas maailm muutub ajas. Teine ajastu oli XIX sajandi lõpp, XX sajandi algus: saadi aru, et füüsika võrrandeid alati täpselt lahendada ei saa ning ülesandeks oli öelda kas või midagigi kvalitatiivset võrrandite kohta, kirjeldada kvalitatiivselt maailma kulgu. Kolmas ajastu algas XX sajandi teisel poolel, kui mõistsime, et tegelikult ei tea füüsikud enamasti isegi õiget võrrandit … Matemaatiku eesmärgiks sai nüüd öelda kas või midagigi, ilma et isegi võrrandeid teaks. Just selles kontekstis on ka enamik Artur Ávila tööst. Kuigi ta on tegelnud ka mõne päris konkreetse dünaamilise süsteemiga – kvantfüüsikast tuntud Schrödingeri operaatorid või probleemid, mis on seotud piljarditüüpi dünaamikaga – on ta uurimistöö läbivalt vastanud üldisemale küsimusele: kuidas käitub teatud klassi kuuluv tüüpiline dünaamiline süsteem? Artur Ávila uurimistööd saadab üks meetod, millest tema käes – kasutades jällegi Étienne Ghysi väljendit – sai võlukepike. Seda meetodit nimetatakse renormalisatsiooniks ja kuigi Artur Ávila ei olnud selle leiutaja, on ta olnud meetodi geniaalne arendaja ja rakendaja. Artur Ávila puhul toodi esile ka tema tööstiili – ta teeb väga palju koostööd teiste matemaatikutega maailma eri paigust.

Arvuteooria auhinnani viis Rubiku kuubik
Manjul Bhargava loengut on mul juba korra varem õnnestunud kuulata Inglismaal. Äärmiselt sümpaatne matemaatik. Ja millised põlevad silmad! Manjul Bhargava uurimistöö on võib-olla kõige traditsioonilisemas ning kurikuulsamas matemaatika valdkonnas – arvuteoorias. Ta puhus ellu Carl Friedrich Gaussi kahesaja aasta vanused ideed, andis neile uue ilusama kuju ning leidis neile laiendusi. Väidetavalt tuli ta nende mõtete peale Rubiku kuubikuga mängides ja seda kihiti lahti võttes. Tõepoolest, tema esimeste tööde ideede taga seisab kuup, väga geomeetriline mõtlemine ja väga mänguline lähenemine. Ilusad ideed! Nendestsamadest ilusatest esmaideedest on ta nüüd leidnud vastused ja edasimineku päris mitmele arvuteooria klassikalisele küsimusele. Kui ta ei jõuagi päris vastuseni, annab ta vastuse poolel määral, näiteks on ta nüüd näidanud, et üks kuulsamaid matemaatika lahendamata küsimusi, Birchi ja Swinnenton-Dyeri hüpotees, on tõene vähemalt 66 protsendil juhtudest! Pressikonverentsil peatus Bhargava lühidalt ka matemaatikaharidusel. Tema meelest peaks matemaatikaharidust muutma interaktiivsemaks, õpilastele tuleb anda võimalus märgata matemaatika mängulisust.
Kuidas müra müraga korrutada?
Kolmas on Martin Hairer. Mäletan, et pärast tema miniloengukursust eelmise aasta märtsis ütlesin endale: pagan, see on äge, võib-olla on tema nüüd üks medalimeestest. Väga hästi ma tema tööst tookord aru ei saanud ja küllap ei saa praegugi, aga kogu tema lähenemine lõhnab värskusest. Martin Haireri töö käib väga konkreetsete objektide ümber, mida nimetatakse osadiferentsiaalvõrranditeks. Need võrrandid peaksid kirjeldama meie füüsikalise maailma keerulisemaid aspekte. Lihtsamaid näiteid on ehk soojusvõrrand, mis kirjeldab soojuse levikut ruumis, on osadiferentsiaalvõrrand või näiteks lainevõrrand, mis kirjeldab lainete levimist. Tihtipeale ei ole aga võimalik füüsikalist süsteemi järgida päris isolatsioonis, päris üksi, või ei tea me tema olekut ja tegemisi päris täpselt. Nii on süsteemi kirjeldusse sisse vaja tuua ka müra. See teeb aga asjad keeruliseks! Müra ei ole lihtne kirjelda, müra ei ole lihtne muuga siduda. Kuidas näiteks müra müraga kokku korrutada? Nii tuleb välja, et mitmed füüsikaliselt motiveeritud võrrandid ei olegi matemaatiliselt puhtalt ja rangelt sõnastatavad. Või õigemini, need ei olnud puhtalt sõnastavad nii kaua, kuni Martin Hairer asja käsile võttis. Ta töötas välja nn regulaarsusstruktuuride teooria, mis aitab liiga mürarohked, liiga hüplikud ja matemaatiliselt raskesti sõnastavad probleemid algebra abil kontrolli alla saada. Ta läheneb igale füüsikalisele probleemile täpselt sellest probleemist lähtuvalt ning näitab, kuidas probleemi enda iseloomu arvesse võttes õnnestub pääseda päris lähedale ka matemaatiliselt. Tööd veel muidugi jagub, aga kindlasti on see põnev ja uus lähenemine.

Esimene naismedalist kirjeldab keerulisi ruume
Esimese naismedalisti Maryam Mirzakhani nimi oli mulle neist neljast kõige tundmatum. Pean tunnistama, et matemaatikute hulgas sosistati juba ammu, et küllap on üks selle aasta medalistidest ka naissoost, aga kes – seda nii hästi ei teatud või ei osatud aimata. Küllap oli Maryam siiski favoriit.
Kõrvalepõikena veel üks lugu. Fieldsi medaleid üritatakse enamasti saladuses hoida kuni auhinnatseremooniani, mis toimub kongressi avaaktusel. Võitjat teavitatakse heast uudisest küll juba kevadel, aga palutakse seda jagada vaid oma perega. Enamasti saladust hoitakse, sõlmitakse eelnevalt kihlvedusid ja ava­tseremoonial on põnevus suur. Sel aastal läks pisut teistmoodi. Nimelt oli Prantsuse ajaleht Le Monde võitjad üles pannud juba kaks tundi enne aktust ning väidetavalt olevat Wikipedias korraks võitjaid näha olnud isegi kaks päeva enne aktust. Seega paljud juba teadsid. Internetiajastul on saladust hoida aina keerulisem.
Nüüd siis Maryam Mirzakhani juurde. Tema uurimistöö on kõige puhtamalt geomeetria valdkonnast. Geomeetria ei tähenda matemaatikas ammu enam, et kõike saab joonestada. Tõsi, asjatundjatel endal on peas visuaalsed pildid, aga ega kõrvalseisja neist tihti aru saa. Mirzakhani töö üks aspekt tegeleb teatud abstraktsete pindade või ruumidega, mis ei ole sugugi homogeensed – igas punktis paistavad need isemoodi. Selliste pindade ja dünaamiliste protsesside uurimine neil pindadel tundus matemaatikas pikka aega liiga keeruline. Juba homogeensete, igal pool sarnanevate ruumidega oldi hädas. Kui kuul veereb enam-vähem siledal laual, on ju füüsika ja matemaatika igati tehtavad, kuigi niipea kui lauast tehakse näiteks viisnurkne piljardilaud, peab juba abi küsima Artur Ávilalt. Samal ajal, kui kuul veereb minimaastikul, kus on künkaid ja orge, läheb asi väga keeruliseks. Maryam Mirzakhani on leidnud siiski meetodi, kuidas teatud kindlas kontekstis saab kirjeldada seda tüüpi ruume ja dünaamikat nendes ruumides. Osa tema tööst on seotud nn maavärina dünaamikaga, mis peaks abstraktses kontekstis meenutama laamade põrkumist, hõõrdumist ja nihkumist. Maryam näitas, et selle tagajärjel võib maapind oma kuju pea igatpidi muuta – võib-olla jõuavad kord ka Eestisse kõrged mäed!

Auhinnaraha noortele
Medalistide tööde esitajate jutust jäi mulle kõrva ennekõike üks aspekt: kõikide medalistide töö on mingis mõttes alguse saanud ilusatest lihtsatest ideedest, millele on järgnenud palju pikka ja sihikindlat tööd. Need lihtsad ideed on kohe üllatanud kõiki oma ala asjatundjaid ja seejärel uuendanud kogu valdkonda. Lihtsad ideed tulevad aga vahel kõige raskemalt, neile eelneb ehk veel rohkemgi tööd kui järgneb – ja see töö on tihti keerulisem, kompimine pimeduses.
Medalid saavad pimedusest pääsejad. Võib-olla peaks ennekõike just ergutama neid, kes alles otsivad? Mitmed matemaatikud mõtlevadki nii ning auhinnaraha suunatakse hoopis ümber noortele, sest nii palju on veel matemaatikas teha ja avastada. Järjest enam seostub matemaatika ka ümbritsevaga. Matemaatika elab, ja mulle tundub, et aina enam.