Matemaatika – pidevuse etalon

Erik Paemurru

Hasso Krull on iseloomustanud Eesti ajalugu sõnadega „katkestuse kultuur”. Matemaatikakultuuris, nii koolitöös kui ka teaduses, on seevastu kõige silmapaistvam joon pidevus ja püsivus. Ei saa rääkida korrutamisest, kui ei tunta liitmist, ega õppida jagamist, kui ei tunta korrutamist. Nii alustataksegi koolis just neist tulemustest, mis avastati esmakordselt tuhandeid aastaid tagasi.

„Ringi ruudustamine”
Esimesed vajalikud tulemused matemaatikast tulid geomeetria vallast – kuidas vahemaid, pikkusi ja kõrgusi mõõta, kuidas planeerida ehitisi. Näiteks teati juba Vana-Egiptuses, et kolmnurk küljepikkustega 3, 4 ja 5 on täisnurkne. See teadmine oli väga oluline, sest võimaldas luua ristkülikukujulise põhjaga ehitisi, näiteks püramiide varasemast palju täpsemini.
Klassikaline geomeetria arenes kõige kiiremini Vana-Kreeka perioodil, sel­lest ajast pärinevad ka matemaatikud Eukleides, Pythagoras ja Arhimedes. Tolle aja matemaatiku kaks põhitööriista olid joonlaud ja sirkel. Nendest piisab, et luua enamik geomeetrilistest konstruktsioonidest. Aga kas neist piisab kõige jaoks? Sellist tüüpi küsimus tekitab matemaatikutes kohe suurt huvi. Üks natuke konkreetsem küsimus kõlab nii: kui on antud teatud raadiusega ring, kas ainult sirkli ja joonlaua abil on võimalik konstrueerida sama pindalaga ruut? Sellele ei suutnud Vana-Kreeka suurimad matemaatikud vastata. Ahvatlevalt lihtsa sõnastuse tõttu proovisid väga paljud „ringi ruudustada” ning ilmus terve kari libatõestusi. Ülesanne jäi siiski lahendamata.
Oluline samm ülesande lahendamise suunas tehti alles XIX sajandil, kui 17aastane matemaatik Évariste Galois uuris algebralisi võrrandeid. Aastal 1882 tõestas saksa matemaatik Lindemann, et arv π ei ole algebraline, mis koos Galois’ tule­mustega andis ringi-ruudu ülesandele negatiivse vastuse. See on üks näide matemaatika pidevusest – millisel muul alal võib üks ülesanne tuhandeid aastaid inimeste mõtteid vallata!

Fermat’ suur teoreem
Teise valdkonnana oli Vana-Kreeka matemaatikas väga tähtsal kohal arvuteooria. Eelnevas lõigus mainisime, et kolmnurk küljepikkustega 3, 4 ja 5 on täisnurkne. See tuleb Pythagorase teoreemist: täisnurkses kolmnurgas kehtib x² + y² = z². Selliseid arvukolmikuid leidub veel, näiteks 6, 8, 10 ja 5, 12, 13. Prantsuse matemaatik Pierre de Fermat küsis aastal 1637, kas selliseid arvukolmikuid leidub ka siis, kui asendada 2 mõne muu arvuga. Fermat’ arvas, et mitte – õigemini, ta väitis, et ei leidu ning et tal oli selle kohta ka tõestus, aga vihikuserval oli liiga vähe ruumi, et seda kirja panna. Ka see ülesanne, mis sai tuntuks kui Fermat’ suur teoreem, köidab oma lihtsa sõnastuse tõttu tähelepanu.
Fermat’ suure teoreemi lahendas 1994. aasta septembris inglise matemaatik Andrew Wiles. Ta pühendas seitsme aasta jooksul kogu oma uurimistöö sellele ühele ülesandele. Nii suurt pühen­dumist eeldab matemaatika teadustöö! Kuid selle tulemuse taga ei ole ainult Wiles. Tema töö oli vaid viimane tükk puslest, millesse oli panustanud loendamatul hulgal matemaatikuid enne teda ning kus olid abiks matemaatika kõik valdkonnad.

Matemaatika vajab pidevust
Koolis õpitav matemaatika on väga ilusa ülesehitusega, kõik on täpselt ja konkreetselt sõnastatud, kuskil ei ole nähtavaid auke. Teadusega tegeldes paistab matemaatika hoopis teisest vaatenurgast ning on näha, et see ilus ülesehitus on paljude inimeste aastasadade pikkune töö. Kui hakata ise mõnda hüpoteesi tõestama, tekib kohe palju küsimusi. Kas hüpotees ikka kehtib, kas ülesandele leidub üldse ilus lahendus, kas küsimus on ikka õigesti sõnastatud? Tihtipeale tuleb uute ülesannete, teemade jaoks ka uus matemaatikakeel ning uued definitsioonid välja mõelda, et saadud tulemused täpselt sõnastada.
Kõik see viib ühe järelduseni – matemaatikat ei saa teha katkendlikult. Teadust ei saa teha pühendumuseta. Matemaatikaharidust ei saa omandada sporaadiliselt, jättes mõned klassid vahele. Matemaatika liigub ikka aina tuleviku suunas ja õnneks, tänu matemaatika apoliitilisusele, võib rahuga öelda, et sellele ei seisa vastu ükski režiim ega võim.