Origami ja elegantne matemaatika

Paul Jackson: „Origami ühendab teaduse ja kunsti. See on visuaalne, ekspressiivne, skulptuurne, disaini puudutav, aga olemuslikult matemaatiline.“

ANNE RUDANOVSKI

Miri Golani ja tema abikaasa Paul Jacksoni poolt välja töötatud ja origamil põhinev matemaatika õppekava on käesolevast aastast Iisraeli koolides ja lasteaedades ametlikult kasutusel. Septembris õpetas Paul Jackson Eesti kunsti­akadeemias ja oli Paberi­muuseumi külaline Tartus.

Paul Jackson on enam kui 30 raamatu autor ning õpetanud voltimist ja selle tehnikaid rohkem kui 150 kursusel Saksamaal, Belgias, USAs, Kanadas, Suurbritannias, Iisraelis. Ta on olnud origamikonsultandiks firmades Nike ja Siemens. Tema populaarseim, teedrajav raamat „Folding Techniques for Designers: From Sheet to Form“ („Voltimistehnikad disaineritele: lehest vormiks“) on leidnud laia kasutust disaini- ja kunstiõppes. Origameetria on Iisraeli Origami Keskuse õppeprogramm origami kaudu matemaatika õpetamiseks lasteaedades ning põhikooli I ja II astmes.

 

Teie elus on justkui kaks missiooni: ühelt poolt raamatute kirjutamine ja teiselt poolt õpetamine, origami rakendamine hariduses.

Voltimine ja matemaatika on haridusteemad. Origami on väga hea viis matemaatika õpetamiseks, näiteks geomeetria abstraktsete mõistete selgitamiseks lasteaiaealistele. Lapsed õpivad kõige paremini ise tehes ja voltimine on vägagi füüsiline tegevus. Selle asemel, et abstraktsete kujundite pilte raamatust vaadata, voldivad nad valmis origami mudeli. Tegevuse käigus astuvad matemaatilised mõisted lapse mõtlemisse justkui tagaukse kaudu. Motivatsioon tuleb aga protsessist enesest, sest laps saab hakkama mõne lihtsa mudeli tegemisega, on selleks siis karp, loom, süda – mis iganes! Rahulolu millegi tegemisest ja avastamisest, et armastad matemaatikat, et seda saab käega katsuda ja vaadata! Kuid eesmärk pole mudeli valmimine, vaid matemaatilised küsimused, mida küsida. Paberilehe voltimise kaudu saavad mõisted ilmsiks ja selgeks. Voldime lehe pooleks. Kuidas me teame, mis on pool mingist pinnast? Kuidas arvutada pindala? Ja nii edasi. Tuleks kasutada väga lihtsaid mudeleid, sest rõhk pole käsitööl, vaid matemaatika õppimisel.

 

Miks nii vähe õpetajaid origamit kasutab?

Põhjuseid jagub! Ma ei süüdista õpetajaid. Origamit on peetud ajalooliselt käsitööks, mitte matemaatikaks. Kui räägime Pythagorase matemaatikast, siis ei saa olla eesmärgiks mõne origami mudeli tegemise õpetamine, fookus peaks olema 100% matemaatikal. Õpetajate eelarvamus on õigustatud, kui ülesanne muutub tegemiskeskseks ja matemaatikast kaugeneb. See tuleneb taas ajalooliselt kujunenud arusaamast, mis on origami. Origamile on jäänud käsitöö mekk. Võib teha tuhandeid mudeleid, kuid see on ajaviitematemaatika. Origameetria programmis on meie fookus alati matemaatikal ning mudel on konksuks, mis matemaatika juurde tõmbab.

Teine probleem on see, et õpetajad peavad ise oskama origami mudeleid teha, et klassi ees olla. Seda peab õppima. Õpetajad on hõivatud, nad ei proovi. Avastasime selle oma programmi arendades, kui oli vaja õpetajaid koolitada. Õpetajad leidsid rohkelt vabandusi, miks mitte proovida, katsetada. Nad ei hakanud origamit kasutama, sest ei tundnud end kindlalt. Origami ongi raske. Meie lahenduseks oli luua samm-sammult juhendavad origamianimatsioonid ja panna veebi, et õpetajad saaksid neid tunnis kasutada. Õpetaja osaks jääb arutelu juhtimine, küsimuste esitamine. Mitu kolmnurka on tekkinud? Järgmine samm. Nii valmib mudel tunni lõpuks kui maiuspala.

Ka kultuurimüüdid segavad, et origami on see Jaapani värk ja las nad Jaapanis voldivad, meie siin ei voldi, meil pole sellist traditsiooni. Jaapanlased ei voldi! See on müüt! Selline suhtumine on mõistetav, aga mitte õigustatud. Kui leida õiged meetodid, siis kõik toimib. Õpetajate koolituskolledžid Iisraelis tegid koostöös uurimuse, mille tulemused näitasid, et traditsioonilisel viisil geomeetriat õppivad unustavad alla 12aastased lapsed 80% õpitust. Kui kasutada voltimist ja origamit, teisisõnu interaktiivset õpet, omandab/mäletab 80% lastest, mis on trapets, kus on sümmeetria joon, mis on ümbermõõt jne. Need on laste jaoks abstraktsed mõisted. Paberilehte saab pöörata, liigutada, mõistet saab erinevates kontekstides näha, see on elav, liikuv, muutuv – dünaamiline.

Samast uurimusest selgus veel, et kui laps on väga nutikas, omandab ta uued teadmised ja oskused eri meetoditega kiirelt. Kui aga lapsel on õpiraskused, nt düsleksia, keskendumisprobleemid, siis sellise lapse jaoks on kunsti (geomeetria) ja füüsilise mudeldamise abil õppimine oluline, sest nad mõistavad nii paremini. Nad kasutavad oma käsi ja aju koos, mis on efektiivsem kui istuda pliiatsi ja paberiga abstraktsete mõistete juures. Origameetria aitab edasi jõuda ka neil õpilastel, kes ei ole klassi absoluutses tipus.

 

See on märkimisväärne tulemus. Milline oli teie tee selleni?

Alguses oli origami mu hobi. Õppisin kunsti ja kui näitasin origamit oma professorile, vihastasin ta tõsiselt välja. Ta käskis mul lõpetada, sest sel polnud tema arvates kunstiga mingit seost. See oli „julgustus“, mida vajasin, et hakata origamiga tõsiselt tegelema. Sel hetkel sai minust origami-kunstnik. Kunsti õppides oli mu suurim avastus, et pea igaüks suhestub origamiga, mitte aga eksperimentaalse kunstiga, mida tol ajal tegin. Origami tõmbas inimesi kaasa, mitte piire inimeste vahele. See meeldis mulle. Matemaatika tuli mu ellu abikaasaga. Tema tõmbas mind kaasa. Praegu õpib meie meetodi järgi Iisraelis enam kui tuhat klassi. Samas on matemaatika kogu aeg mu kõrval olnud. Olen kasutanud seda väga praktilisel viisil, mitte nagu matemaatik. Matemaatika aitab mul paremini voltida.

Aastate jooksul olen kogunud väga elegantseid nippe, mida lastele (üliõpilastele, õpilastele) õpetada, nt kuidas ruudust võrdkülgset kolmnurka voltida, kuidas pinda kolmeks osaks voltida, kuidas voltida viisnurka või kuusnurka. Need on küsimused, millele origamiga tegeledes vastused leiad. Alati ei pea mässama sirkli ja joonlauaga. Ma ei mõtle origamist kui matemaatikast, pigem kui millestki kasulikust. Samas võib matemaatiline rakendus saavutatud tulemuses olla üsna sügav.

Voltides avaneb matemaatika elegants, konstruktsioonide ilu. On palju praktilisi meetodeid, mida kasutada. Origamit tehes ei saa kogu aeg matemaatikast mõelda, see on matemaatika lõbus ja nauditav rakendamine. Elegantsed ja esteetilised origamivõtted, mis peituvad protsessis – ilus! Arvan, et nii viie- kui kaheteistaastasele lapsele kui ka matemaatikaõpetajale on ülitähtis kokku puutuda esteetiliste asjadega, mitte segaste ja mõistetamatutega. Sel põhjusel armastangi matemaatikat. Selle elegantsust!

 

Kas ka harmooniat?

Origami valmib sündmuste jadana. Nagu meloodia, poeesia – ajas liikuvana. Origami pole miski, mille saab valmis kujul kohe kätte haarata. Voltimisprotsessil on lõppakord nagu muusikas, viimane volt viib kõik oma kohale. Kõigi eelnevate sammude summaks on rahuldustunne, tunne, et oled midagi saavutanud, midagi käegakatsutavat. Saavutustunne on oluline. Täiuslik ruut! Jah, see töötab.

Paljud lapsed on koolis õnnetud (ei tule toime, on hädas), sest nad kardavad ebaõnnestumist. Motivatsioon on kadunud. Kui ma nendega kohtun, siis alguses ajab paber nad segadusse, nad kardavad taas ebaõnnestuda. Aga kui nad järje peale saavad, mis siis juhtub?! Nad lähevad koju ja voldivad sadu mudeleid. Nende eneseusaldus taastub! Ma oskan, ma suudan midagi! Imestatakse, kuidas sai problemaatiliste lastega nii sündida. Väga lihtsalt! Järgmises tunnis on nad esimestena klassis.

 

Kas matemaatika- ja kunstiõpetajate koos õpetamine on võimalik?

Origami on teema, mis ühendab teaduse ja kunsti. See on visuaalne, ekspressiivne, skulptuurne, disaini puudutav, aga olemuslikult matemaatiline. Raske oleks teha ühtki volti nii, et puuduks seos matemaatikaga. Isegi kui matemaatika pole väga huvitav, on see siiski matemaatika. Lehe pooleks voltimine ei paku erilist silmailu, kuid on siiski matemaatika. Voltimisprotsessi iga samm sisaldab matemaatikat, seda on raske vältida, alates juba sirgest joonest paberil, mille asukohta paberil saab määrata. Samas ei saa väita, et origami on matemaatika. Võin õpetada voltima jänest või karpi, ja sa õpidki neid mudeleid tegema, aga sa ei õpi sellega matemaatikat. Kuid ma võin ka õpetada viisil, kus räägin voltimisel hoopis kolmnurga aluse voltimisest kolmnurga tippu, õpetada matemaatikat silmas pidades, kasutada matemaatika sõnavara.

Meil on film viieaastastest lasteaialastest pärast origamitundi mänguplatsil, kus nad üksteist õpetavad. Iisraelis on lasteaedades matemaatika õppekava, mis sisaldab origamit (origameetria). Lapsed räägivad omavahel: „Voldid alumise tipu vastas asetseva tipuni, leiad üles keskpunkti … “ – puhas matemaatiline keel. Näitasime filmi õpetajate konverentsil, kus laste jutt tekitas hämmastust. See oli sõnavara, mis oli nende jaoks loomulik, sest neid oli niimoodi õpetatud. Nad mängisid, neil oli lõbus ja nende sõnakasutus oli laitmatu. Neid oli õpetatud matemaatika keeles.

 

Kas origami on osa riiklikust matemaatikaprogrammist?

Jah, see on osa riiklikust õppekavast. Ministeerium on lisanud origameetria õppekavasse, õpetajad saavad seda valida ja kasutada. Eelmisel aastal programm kinnitati ja sel aastal on esimene täisakadeemiline aasta. Juba praegu on programm kasutusel enam kui tuhandes klassis ja arvame, et kasv jätkub. See oli meeldiv tunnustus meie tööle. Origameetria on seni ainus aine, mis pole tulnud ülikoolist. Meie riigi ajaloos on tegu pretsedendiga, mitte ühtegi sõltumatu organisatsiooni poolt välja töötatud programmi (vanuseastmes lasteaiast kuni 18. eluaastani) pole varem ministeeriumi poolt kinnitatud. Oleme uhked, aastaid tööd ja konsultatsioone matemaatikaprofessorite ja -õpetajatega on andnud kindlustunde. Meeldiv on saada vaimustunud tagasiside õpetajatelt, samuti lastelt.

 

Kui palju aastaid selleks kulus?

Minu abikaasa (Miri Golan) alustas origami õpetamist käsitööna Iisraeli koolides umbes kakskümmend viis aastat tagasi. Origameetria jõudis koolidesse kümmekond aastat tagasi. Oleme programmi seni ise rahastanud, maksnud konsultatsioonide, animatsioonide, sõitude jm eest, lootes, et ühel päeval jõuab see klassiruumi, sest programm on testitud.

 

Kas on ka teisi maid, kes origameetriat kasutavad?

Erakoolid Ameerikas, huvitatud koole on Lõuna-Ameerikas. Eelmisel nädalal kohtus Miri huvitatud inimestega Hiinast. See on siiski algus. Vajame veebilehele animatsioone, tõlkeid jne. Osa www.origametria.co.il lehest on juba inglise keeles kättesaadav aadressil origametria.com.* Oleme väike organisatsioon, usume sellesse, mida teeme ja oleme saavutanud edu.

 

Kas seda võiks nimetada dünaamiliseks hariduseks?

Kätega töötamisel ei ole sa vaatleja, vaid füüsiliselt kaasatud, keskendunud. See on nagu alkeemia: sul on käes peaaegu et prügi, igav paberileht, mille sa katsetuste teel ja läbikukkumiste kiuste kullaks muudad ja paberilehest saab jänes, karp või süda, midagi muud lahedat. Sul on lõpus rohkem kui alguses. Kui joonistad ringi, mille sa siis saad? Liiga abstraktne.

Kui sa aga midagi meisterdanud oled, kui sul on midagi koju viia, annab see sulle jõudu, teise staatuse, motivatsiooni. Origami tegemine on nagu laboratoorium, kus sa avastad iseennast.

Õpetame ka palestiina koolides, kus just palju raha pole. Kasutame seal värvilisi origamipabereid, see on nende jaoks luksus. Klassiruum särab ja see on nende jaoks tähtis, tõmbab neid ligi ja siis nad voldivad midagi, õpivad. Probleem on selles, et praegu kasvavad lapsed ei tee kätega midagi ise. 4-5-aastaselt jõuavad nad lasteaedadesse ja mõni neist ei oska pliiatsitki käes hoida. Neil on füüsiliselt raske isegi kirjutama õppida. Koolid alustavad origameetriaga, et arendada näputugevust, motoorseid oskusi. Voldi paberileht pooleks! Õpetajal pole vaja lapsele öelda, et ta saaks paremini teha. Laps saab aru, et kui ta tahab sellest lehest midagi teha, peab ta midagi muutma.

Kaheksandaks korraks on laps ise end korrigeerinud. Laseme lastel alati lõpetada selle, mida nad teevad. Areneb ka ruumiteadlikkus, laps õpib, milline on lehe esikülg, tagumine külg. Origami järjestikused tegevused, sammud lõppmudeli poole annavad edasi idee lõpp­tulemusele eelnevatest tegevustest. Lapsel on raske aru saada, et kõik ei toimi skeemina. Kui aga teed midagi, on kohe tulemus näha.

Matemaatikatunni teadmised jõuavad ka teistesse tundidesse. Oli üks juhus, kus lapsed kasutasid geomeetrilisi kujundeid kunstitunnis, inimestel olid ruudukujulised pead ja kummalised kolmnurk-silmad. Õpetaja oli laste abstraktsest lähenemisest segaduses.

 

Kuidas edasi?

Mul on oma tööga väga vedanud. Olin esimene inimene Euroopas, kes teenis elatist origamiga. Kui alustasin, polnud selliseid inimesi kuigi palju. Oli aeg, mil teadsin kõiki origamiga tegelejaid maailmas.

Praegu see enam nii pole, pilt on muutunud. Organisatsioonid nagu OSME jt on palju ära teinud. Olin hiljaaegu Soulis. 10 000 inimest õpetavad seal origamit professionaalsel tasemel. Origamiõpetaja on seal elukutse. Läbitakse kursused, saadakse tunnistus. Nagu keegi seal ütles: „Mu ema arvas, et origamiõpetaja on väga hea elukutse.“

 

* https://origametria.com/training/about-origametria

 

Anne Rudanovski osaleb Erasmus+ projektis DesignSTEM, mille eesmärgiks on lõimitud loodus-, täppisteaduste, tehnoloogia ning disaini õppevara väljatöötamine.

 

 

---

 

Origamikogukonna kokkusaamine

Septembri esimesel nädalal võõrustas Oxfordi ülikool 7. rahvusvahelist origami­kogukonna kokkusaamist (7th International Meeting on Origami in Science, Mathematics and Education, 7OSME).

Konverents toimus koos Briti Origami Seltsi sügiskohtumisega, mis tähistas sel aastal oma 50. aastapäeva. 7OSME oli seitsmes konverents, mis uuris origami ja voltimise rakendusvõimalusi teaduses, hariduses ja kunstis. Esimene rahvusvaheline kohtumine, mille korraldas professor Humiaki Huzita, toimus 1989. aastal matemaatika ja rakendus­origami teemal.

Iga konverentsiga kaasneb esitatud uurimistööde avaldamine. Sel aastal jõudis konverentsi 4-köitelisse kogumikku rohkem kui kahesajast esitatud artiklist 96, neist pool on valdkondlikud uurimistööd inseneerias. Origami on saamas akadeemilise õppe osaks kogu maailmas, nt Suurbritannias Oxfordi ülikoolis ja Hiinas Tianjini ülikoolis on juba loodud vastavad magistri­programmid. USAs on mitmetes ülikoolides riiklikult rahastatud origami rakenduslikud programmid.

7OSME osalejate ja esinejate hulgas oli nii kunstnikke, matemaatiliste probleemide lahendamiseks origamit kasutavaid matemaatikuid, voltimis- või bioloogilisi objekte uurivaid teadlasi, virtuaalse ja reaalse maailma probleemide lahendamiseks origami printsiipe rakendavaid insenere kui noorema põlvkonna inspireerimiseks origamit kasutavaid õpetajaid.

Miri Golani Iisraeli Origami Keskusest esines ettekandega „Uuring alg­klassi­õpetajate suhtumise muutumisest geomeetriaõppesse kasutades geomeetria õpetamiseks interaktiivset origameetria e-õppe programmi“.